Brüche kürzen
Kürzen ändert den Wert eines Bruchs nicht, nur seine Schreibweise. 48/180 und 4/15 sind dieselbe Zahl — die zweite ist nur lesbar.
Die Regel
Teilen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Erlaubt ist jeder gemeinsame Teiler; am schnellsten geht es mit dem größten gemeinsamen Teiler, dem ggT.
Den ggT finden
Für kleine Zahlen genügt Hinsehen. Systematisch geht es mit dem euklidischen Algorithmus: Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere und rechnen Sie mit dem Rest weiter, bis kein Rest bleibt.
| Schritt | Rechnung | Rest |
|---|---|---|
| 1 | 180 ÷ 48 = 3 | 36 |
| 2 | 48 ÷ 36 = 1 | 12 |
| 3 | 36 ÷ 12 = 3 | 0 |
Der letzte Rest vor der Null ist der ggT — hier 12. Das Verfahren ist über zweitausend Jahre alt und immer noch das schnellste bekannte.
Der Hauptnenner ist das Gegenstück
Beim Addieren braucht man den umgekehrten Wert: das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV. Es hängt direkt mit dem ggT zusammen:
Für 6 und 8: 48 ÷ 2 = 24. Der Hauptnenner ist also 24 und nicht 48 — man kann mit dem Produkt der Nenner rechnen, muss danach aber kürzen.
Aus Summen darf man nicht kürzen
Das ist der Fehler, der am hartnäckigsten überlebt:
Richtig ist 8/10 = 4/5. Gekürzt werden darf nur, was multipliziert ist, nie einzelne Summanden. Die Merkregel dazu ist alt und richtig: „Aus Summen kürzen nur die Dummen."
Häufige Fehler
Nur teilweise kürzen. 48/180 durch 4 ergibt 12/45 — richtig, aber noch nicht vollständig. Es geht noch durch 3.
Mit dem Produkt der Nenner arbeiten und dann vergessen zu kürzen. 1/6 + 1/8 über den Nenner 48 ergibt 14/48, was 7/24 ist.
Negative Vorzeichen im Nenner lassen. 1/−2 schreibt man als −1/2.
Häufige Fragen
Wie finde ich den größten gemeinsamen Teiler?
Mit dem euklidischen Algorithmus: größere Zahl durch kleinere teilen, mit dem Rest weiterrechnen, bis kein Rest bleibt. Der letzte Rest vor der Null ist der ggT.
Darf man aus einer Summe kürzen?
Nein. Gekürzt werden darf nur, was multipliziert ist. (3+5)/(3+7) ist 8/10 und nicht 5/7.
Selbst nachrechnen
Der Bruchrechner kürzt automatisch und zeigt an, durch welche Zahl gekürzt wurde. Er rechnet mit ganzzahliger Arithmetik beliebiger Größe, also exakt.